Vektor - Materi OSN Fisika SMA dan Latihan Soal - Acing Physics

Besaran-besaran fisika dapat dikelompokkan menjadi dua: besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah, misalnya massa, waktu, suhu, energi, dan lain-lain. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, misalnya kecepatan, gaya, perpindahan, dan lain-lain.

Pemahaman mengenai operasi-operasi skalar dan vektor dapat memudahkan kita untuk menyelesaikan berbagai kasus fisika. Operasi skalar dapat kita perlakukan seperti operasi bilangan seperti biasa. Misalnya, 2 kg apel ditambah 2 kg apel sama dengan 4 kg apel. Namun, operasi vektor sangat berbeda dari operasi skalar karena ada arah yang harus dipertimbangkan. 

Pada artikel ini, ada beberapa operasi vektor yang akan kita bahas, di antaranya: penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian vektor dengan skalar, perkalian dot product antara vektor dengan vektor, dan perkalian cross product antara vektor dengan vektor. Selain itu, ada tips untuk menyelesaikan triple cross product yang sering muncul pada soal-soal OSN Fisika tingkat Kabupaten/Kota disertai kumpulan soal tentang vektor dari OSN Fisika tahun-tahun sebelumnya.

Representasi Vektor dalam Bidang Kartesius

Sebuah vektor biasanya diilustrasikan menggunakan simbol panah. Panjang panah merepresentasikan nilainya (magnitudo-nya) sedangkan kepala panahnya menunjukkan arahnya.

Berikut ini adalah ilustrasi sebuah vektor \(\vec{A}\) pada bidang Kartesius dua dimensi.

Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Pada gambar di atas vektor \(\vec{A}\) memiliki 4 satuan komponen horizontal (sumbu x) dan 3 satuan komponen vertikal (sumbu y). Kita dapat menuliskan vektor \(\vec{A}\) dengan notasi berikut:

$$\vec{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$$

\(\hat{i}\) adalah vektor satuan (unit vector) di sumbu x dan \(\hat{j}\) adalah vektor satuan (unit vector) di sumbu y. Jika vektor berada pada bidang kartesius 3 dimensi, \(\hat{k}\) adalah vektor satuan di sumbu z. Masing-masing \(\hat{i}\), \(\hat{j}\), \(\hat{k}\) tegak lurus satu sama lain sebagaimana sumbu x, y, dan z tegak lurus satu sama lain.

Sebuah vektor \(\vec{A}\) dalam ruang 3D dinyatakan sebagai:

$$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$$

dengan masing-masing Ax, Ay, dan Az adalah besar komponen-komponennya.

Panjang Vektor

Apabila komponen-komponen suatu vektor diketahui, panjang vektornya dapat dihitung dengan rumus Pythagoras.

$$\vert{}\vec{A}\vert{} = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

Mencari Komponen Vektor Apabila Sudut Diketahui

Pada banyak kasus, besarnya suatu vektor diketahui dan sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu x, y, atau z diketahui, kita bisa menghitung panjang komponen vektor dengan menggunakan sifat-sifat trigonometri.

Contohnya, pada gambar di atas, sebuah vektor gaya F besarnya 20 N dan membentuk sudut 60° dengan sumbu x. Maka komponen vektornya di sumbu x (yang berwarna biru dengan garis putus-putus) adalah Fx = F cos 60°.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan penjumlahan komponen-komponennya yang sejenis. 

• Penjumlahan: \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}\)
• Pengurangan: \(\vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j} + (A_z - B_z)\hat{k}\)

Perlu diingat bahwa \(\vec{A} - \vec{B} = - (\vec{B} - \vec{A})\)

Selain itu dapat juga digunakan metode grafis. Misalnya, pada gambar di bawah ini  \(\vec{u} + \vec{v} =  \vec{w}\)

sedangkan untuk pengurangan, kita menggunakan  \(\vec{u} - \vec{v} =  \vec{u} + (- \vec{v}) = \vec{s}\) dimana - \(\vec{v}\) adalah suatu vektor yang besarnya sama dengan \(\vec{v}\) , namun memiliki arah yang berlawanan.

Besar Resultan (Aturan Kosinus)

Jika dua buah vektor \(\vec{A}\) dan \(\vec{B}\) membentuk sudut \(\theta\), maka besar resultan penjumlahannya adalah:

$$R = \vert{}\vec{A} + \vec{B}\vert{} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta}$$

Sedangkan besar selisih vektor (\(\vec{A} - \vec{B}\)) dirumuskan sebagai:

$$D = \vert{}\vec{A} - \vec{B}\vert{} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta}$$

Perkalian Titik (Dot Product / Scalar Product)

Perkalian titik antara dua vektor menghasilkan besaran skalar. Kita dapat mengartikan perkalian titik \(\vec{A}\) dengan vektor \(\vec{B}\) sebagai perkalian bayangan vektor \(\vec{A}\) pada \(\vec{B}\) dengan vektor \(\vec{B}\).

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vert{}\vec{A}\vert{} \vert{}\vec{B}\vert{} \cos\theta $$

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

Sifat-Sifat Penting Dot Product

• Komutatif: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\)
• Vektor Saling Tegak Lurus (Ortogonal): Jika \(\vec{A} \perp \vec{B}\) (\(\theta = 90^\circ\)), maka \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\). Karena dua vektor tegak lurus, maka tidak ada bayangan yang jatuh pada satu sama lain, sehingga nilainya 0. 
• Vektor Sejajar: Jika \(\vec{A} \parallel \vec{B}\) (\(\theta = 0^\circ\)), maka \(\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\). Ini merupakan nilai maksimumnya.

Pada vektor satuan, \(\hat{i}\cdot\hat{i} = \hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1\) dan \(\hat{i}\cdot\hat{j} = \hat{j}\cdot\hat{k} = \hat{k}\cdot\hat{i} = 0\) karena mereka tegak lurus satu sama lain.

Penerapan Dot Product

Salah satu persamaan yang menggunakan dot product adalah Usaha. Usaha (\(W\)) yang dilakukan oleh gaya konstan \(\vec{F}\) untuk memindahkan benda sejauh \(\vec{s}\) didefinisikan sebagai perkalian titik:

$$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$$

Perhatikan bahwa Usaha adalah besaran skalar sedangkan F dan s adalah besaran vektor. Nilai Usaha maksimum apabila gaya dan perpindahannya sejajar. Usaha bernilai 0 apabila gaya dan perpindahan tegak lurus satu sama lain. 

Perkalian Silang (Cross Product / Vector Product)

Perkalian cross product menghasilkan vektor baru \(\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}\) yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh \(\vec{A}\) dan \(\vec{B}\).

Besaran dan Arah Cross Product

Besar dari perkalian silang didefinisikan sebagai:

$$\vert{}\vec{C}\vert{} = \vert{}\vec{A} \times \vec{B}\vert{} = AB \sin\theta$$

Arah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan Kaidah Tangan Kanan.

Kaidah Tangan Kanan (sumber: ck12.org)

Perhatikan bahwa urutan penting dalam operasi cross product. Jika urutannya terbalik, maka akan menghasilkan arah yang sebaliknya. 

Bentuk Determinan Matriks

Jika kita mengetahui komponen-komponennya, kita dapat menghitung masing-masing komponen hasil cross product dengan cara menggunakan bentuk determinan matriks \(3 \times 3\) sebagai berikut:

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$ $$= (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} - (A_x B_z - A_z B_x)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$$

Sifat-Sifat Penting Cross Product

• Anti-komutatif: \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\)
• Vektor Sejajar / Searah: Jika \(\vec{A} \parallel \vec{B}\) (\(\theta = 0^\circ\) atau \(180^\circ\)), maka \(\vec{A} \times \vec{B} = \mathbf{0}\).
• Siklus Vektor Satuan:
  • \(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\quad \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\), \(\quad \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)
  • \(\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}\), \(\quad \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}\), \(\quad \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}\)

Penerapan Cross Product

1. Momen Gaya (Torsi): \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)
2. Gaya Magnetik (Gaya Lorentz): \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\)
3. Kecepatan Tangensial Rotasi: \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\)

Vector Triple Product (Triple Cross Product)

Salah satu soal yang sering muncul di OSN Fisika SMA tingkat Kota/Kabupaten dapat diselesaikan lebih cepat dengan menggunakan identitas Triple Cross Product, yaitu perkalian vektor \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})\). Hasilnya adalah sebuah vektor baru. Agar mudah mengingat rumusnya kita bisa menggunakan singkatan BAC-CAB:

$$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$$

Penting! Perkalian silang tidak bersifat asosiatif. Artinya \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})\) tidak sama dengan \((\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}\)

Latihan Soal

Berikut ini kompilasi soal-soal tentang vektor dari OSN Fisika SMA tingkat Kota/Kabupaten tahun-tahun sebelumnya.

Semoga bermanfaat. Semoga sukses untuk kalian yang akan bertanding di OSN Fisika SMA tahun 2027.